若x>0,y>0,x+y>2,求证：(1+x)/y<2,(1+y)/x<2至少有一个成立

用反证法，设若两者都不成立，
即 (1+x)/y>=2 , (1+y)/x>=2 而x>0,y>0
=> 1+x>=2y , 1+y>=2x
两式相加，2+x+y>=2x+2y
=> x+y<=2 与已知条件x+y>2矛盾，故假设不成立。
原题得证。

若（1+x)/y<2,(1+y)/x<2都不成立，则（1+x)/y>=2,(1+y)/x>=2
因x>0,y>0，有
1+x>=2y 1+y>=2x

两式相加，得2+（x+y）>=2(x+y)
则x+y<=2 与x+y>2矛盾
故 (1+x)/y<2,(1+y)/x<2至少有一个成立

若x>0,y>0,x+y>2,所以2<x+y
xy<[(x+y)/2]^2=1

(1+x)/y×(1+y)/x＝〔(1+x)(1+y)〕/xy
=[1+(x+y)+xy]/xy
=1+[1+(x+y)]/xy
=1+[2+2(x+y)]/2xy
<1+[x+y+2(x+y)]/2xy
=1+(3/2)[x+y]/xy
=1+(3/xy)
<4 《1》

假设(1+x)/y，(1+y)/x都≥2
则(1+x)/y×(1+y)/x≥4
与《1》矛盾
所以：(1+x)/y<2,(1+y)/x<2至少有一个成立